Une dernière idée permettrait peut-être de trouver une démonstration par récurrence de la conjecture (la "démonstration par excellence" selon Poincaré).

Par programme, on peut tester les faits suivants (vérifié jusqu'à 2.10^7) :
Tout nombre pair 2x compris entre 30 et 210 partage l'un de ses décomposants Goldbach avec 2x-6 ;
Tout nombre pair 2x compris entre 210 et 2310 partage l'un de ses décomposants Goldbach avec 2x-30 ;
Tout nombre pair 2x compris entre 2310 et 30030 partage l'un de ses décomposants Goldbach avec 2x-210 ;
Tout nombre pair 2x compris entre 30030 et 510510 partage l'un de ses décomposants Goldbach avec 2x-2310 ;
Tout nombre pair 2x compris entre 510510 et 9699690 partage l'un de ses décomposants Goldbach avec 2x-30030 ;
Les nombres successifs (30, 210, 2310, 30030, etc...) sont les produits des nombres premiers successifs : 2*3*5, 2*3*5*7, 2*3*5*7*11, etc... (je les ai appelés "primorielles" à cause de la ressemblance avec la notion de factorielle).

En fait, on réalise par programme qu'il semblerait (voici donc ma conjecture personnelle !) que tout nombre pair supérieur à 14 partage au moins l'un de ses décomposants de Goldbach avec 2x-6.

Une telle propriété découle du fait qu'un nombre pair a PLUSIEURS décompositions qui entretiennent entre elles certaines relations (au niveau de leurs coordonnées dans un système d'écriture RNS).

Un grand merci à Dominique Ceugniet, qui a éliminé ce que je croyais être deux exceptions à cette nouvelle conjecture.

Dans tous les autres cas (pour l'instant, j'ai testé par programme jusqu'à 3.10^6), les décomposants de Goldbach sont suffisamment nombreux et équitablement distribués au niveau de leurs coordonnées pour qu'il y ait partage.

Dominique Ceugniet confirme cette nouvelle conjecture jusqu'à 16.10^8. Il a également fait quelques statistiques : pour les nombres pairs compris entre 15.10^8 (inclus) et 16.10^8 (exclu), le nombre maximum d'essais à effectuer avant de trouver une décomposition qui partage un nombre premier est 8979, tandis que la moyenne du nombre d'essais à effectuer dans cette zone de nombres est 290.
L'exemple d'un décomposant partagé trouvé après 8979 essais est :
1 508 792 552 = 17 959 + 1 508 774 593
1 508 792 546 = 17 959 + 1 508 774 587

Si tout nombre partage l'un de ses décomposants de Goldbach avec un nombre plus petit que lui (hérite d'un décomposant en quelque sorte), alors la conjecture doit être vraie pour tout nombre.

Reste à prouver d'où découle cet héritage...

En fait, la seule approche par laquelle il me semblerait possible de trouver quelque chose est une approche combinatoire ou probabiliste Erdös aurait résolu ça très vite. Les deux premières coordonnées (mod 2 et mod 3) ne présentent pas assez de valeurs. A partir de mod 5, ça se met à "éclater", ou dit autrement à se "répartir équitablement selon les différentes valeurs possibles". Il faut réfléchir à la probabilité qu'ont deux nombres tirés au hasard de 0 à p d'être différents d'un même troisième tiré lui-aussi au hasard parmi les mêmes valeurs, car les chances d'obtenir les différentes valeurs selon chaque coordonnée sont équiprobables, je crois.
C'est un peu comme si les nombres obtenaient leurs restes selon les différents modules premiers "au hasard". Je trouve cela un peu illogique comme approche car, comme on le sait par la théorie des congruences de Gauss, il n'y a pas plus déterministe que les restes modulaires, qui suivent des périodicités totalement rigoureuses.

Tout ceci peut être représenté par des arbres de nombres, une représentation très "naturelle" pour les informaticiens.

On peut associer les nombres aux feuilles d'arbres de différentes profondeurs : les branches des arbres à suivre pour aboutir à un nombre correspondent aux classes d'équivalence auxquelles appartient ce nombre modulo les nombres premiers successifs. Pour passer d'un arbre à l'arbre de niveau suivant, chaque feuille a pour descendants les nombres d'une mini-suite arithmétique.

Voici les arbres des 3 premiers niveaux :
les trois premiers arbres
A partir du niveau 4, ça devient illisible de représenter cela par un arbre : du coup, on représente les ensembles de feuilles par paquets (de 7 par exemple), dans l'ordre des restes modulaires (de 0 à 6 par exemple). Voici les feuilles de niveau 4.
feuilles du niveau 4

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