Samedi 2 mai 2009 :

- le programme suivant programme trouve les décomposants de Goldbach d'un nombre pair en n'utilisant pas la notion de primarité et son résultat se trouve ici résultat (toujours pour les nombres de 24 à 100).

- prouver que ce programme fournit toujours un résultat prouverait la conjecture de Goldbach ;

- ce programme utilise des automates séquentiels élémentaires qu'on appellera Machine_3, Machine_5, ..., Machine_2k+1.
La première machine appelée Machine_3 renvoie successivement les 6 mots de longueur 3 suivants : 010, 011, 101, 100, 101, 011, et retour au premier mot de longueur 3, puis répétition des mots de la liste dans le même ordre, indéfiniment.
La deuxième machine appelée Machine_5 renvoie successivement les 10 mots de longueur 5 suivants : 00100, 00110, 01010, 01001, 10001, 10000, 10001, 01001, 01010, 00110, et retour au premier mot de longueur 5, puis répétition des mots de la liste dans le même ordre, indéfiniment.
Pour trouver les mots fournis par la machine Machine_2k+3 quand on a les mots de la machine Machine_2k+1, il faut procéder de la manière suivante :
- les k premiers mots de la machine Machine_2k+3 sont les k premiers mots de la machine Machine_2k+1 auxquels on a appliqué le traitement suivant : les mots de rang pair se voient concaténer un 0 au début et à la fin tandis que les mots de rang impair se voient concaténer un 0 à la fin, et rajouter un 0 comme deuxième lettre (toute lettre après la deuxième se voit décaler d'un rang à droite) ;
- les k derniers mots de la machine Machine_2k+3 sont les k derniers mots de la machine Machine_2k+1 auxquels on a appliqué un traitement identique à celui qui a été appliqué aux k premiers mots ;
- le mot central de la machine Machine_2k+3 est le mot central de la machine Machine_2k+1 auquel on a concaténé deux 0 à l'extrémité droite ;
- on ajoute deux mots entre les k premiers mots et le mot central qui sont : (0)(1)(0^2k)(1)(0) et (1)(0^2k+1)(1) ;
- on ajoute deux mots entre le mot central et les k derniers mots qui sont : (1)(0^2k+1)(1) et (0)(1)(0^2k)(1)(0).

Pour le premier nombre pair que l'on considère (i.e. 24), les curseurs dans les 5 premières machines sont dans une position très précise.
Quand on passera aux nombres pairs successifs, les curseurs avanceront d'un cran dans chaque machine, et un coup sur deux, on ajoutera une nouvelle machine qui renverra les mots qu'il faut pour tous les nombres pairs à venir (son curseur quand on introduit cette nouvelle machine est positionné sur le mot central - un 1 suivi d'autant de 0 qu'il faut).

Intuitivement, la conjecture de Goldbach est vraie parce que, dans les tableaux de "préfixes de puissances des mots", certaines colonnes qui fournissent des décomposants de Goldbach, i.e. les colonnes qui n'ont qu'un seul 1 sur la diagonale ascendante de la matrice, ne disparaissent pas en passant d'un mot au suivant dans chacune des machines car les mots successifs ont des zéros communs à certaines positions.

On remarque par exemple que quand on passe d'un double d'impair à un double de pair, les matrices carrées associées aux deux nombres sont de la même taille et une "position Goldbach" est souvent partagée mais pas toujours (par exemple, 30 et 32 partage la position 2, et le décomposant 13 ou bien 34 et 36 partagent les positions 1 et 7 et donc les décomposants 17 et 5. Par contre, 38 et 40 ne partagent aucune position). Ceci pourrait être intéressant si l'on envisage une démonstration par récurrence.

En prolongeant ce raisonnement plus loin, on réalise que les nombres qui n'ont que des mots associés commençant par 0 (sauf le dernier) ont un décomposant "au milieu" et on réalise surtout qu'on a une façon de les caractériser : si 2p congru à i mod 4(2k+1)i strictement inférieur à 4k ou bien avec i strictement supérieur à 4k+4. Pour ces nombres, la position 1 est la position d'un décomposant de Goldbach.
Fournissons la liste de tels nombres inférieurs à 100 : 24, 26, 34, 36, 38, 46, 58, 60, 62, 74, 82, 84, 86, 94. On voit qu'il s'agit de deux sortes de nombres : les doubles de nombres premiers d'une part (26=13+13, 34=17+17, 38=19+19, 46=23+23, 58=29+29, 62=31+31, 74=37+37, 82=41+41, 86=43+43 et 94=47+47). D'autre part, on retrouve les nombres pairs double d'un nombre pair qui est "coincé" entre deux nombres premiers jumeaux (24=11+13, 36=17+19, 60=29+31, 84=41+43).
L'idéal serait une démonstration constructive sur 2x sans référence aux nombres inférieurs, et qui n'utiliserait que les propriétés des mots spécifiques associés à 2x.

- dernière remarque ce jour : les différents mots pour une même longueur sont faciles à identifier dans l'ordre : le premier d'entre eux a 2k+1 lettres : (0^k)(1)(0^k). Pour obtenir le deuxième mot, on change le 0 à droite du 1 en 1. Puis on réitère plusieurs fois le procédé suivant jusqu'à faire "sortir" le 1 de droite du mot (parce qu'on l'a décalé jusqu'à la position extrême du mot) : pour passer d'un mot au suivant, décaler d'un cran à gauche le 1 de gauche, puis décaler d'un cran à droite le 1 de droite. Lorsque le 1 de droite "sort" du mot, revenir en arrière mot par mot jusqu'au mot initial.
Ce procédé donne la liste de mots suivante pour les mots de longueur 9 :
000010000
000011000
000101000
000100100
001000100
001000010
010000010
010000001
100000001
100000000
100000001
010000001
010000010
001000010
001000100
000100100
000101000
000011000

On a bien 18 mots de longueur 9, dont on peut observer la manière dont les lettres 1 qu'ils contiennent (en général au nombre de 2) s'écartent puis se rapprochent.
Remarquons également le grand nombre de 0 qui restent à la même position d'un mot au suivant.