Je n'ai pas de connaissances en mathématiques dans le domaine des transformées de Fourier, pas de connaissances en physique dans le domaine du traitement du signal.
Il faudrait cependant que je trouve la réponse au problème suivant : imaginons que j'ai plusieurs sinusoïdes (en fait plusieurs fonctions en dents de scie mais l'idée est identique).
Dans le pire des cas (pour les puissances de 2), ou bien dans les cas un peu moins pire mais assez graves tout de même des nombres pairs qui ont très peu de diviseurs différents, le nombre de sinusoïdes est plus élevé (2 pour chaque module impair au lieu d'une).
J'ai 2 sinusoïdes de périodes 3 donc, déphasées d'un nombre entier (soit de 1, soit de 2), j'en ai deux autres de périodes 5, déphasées aussi, d'un nombre entier (soit 1, soit 2, soit 3 soit 4), et il se trouve que la première des sinusoïdes de période 5 est déphasée de 1 avec la première des sinusoïdes de période 3, puis j'en rajoute 2 de période 7, la première décalée de 1 avec la première de période 5 et l'autre déphasée d'un nombre entier (de 1 à 6), etc...
J'ai donc, pour résumer, un certain nombre de couples de sinusoïdes (parfois les deux éléments du couple sont confondus) de périodes toutes impaires (de 3 à 2k+1) et déphasées l'une par rapport à l'autre d'un nombre entier et toutes les premières sinusoïdes selon les différents nombres impairs sont décalées de 1.

Et le problème est : Pourquoi est-ce que j'ai toujours un nombre inférieur à la plus grande des périodes pour lequel aucune des sinusoïdes ne s'annule ?
Ci-dessous sont fournis les scans du résultat d'un programme. Il effectue des calculs qu'on précisera à l'occasion. Ces résultats font précisément apparaître les sinusoïdes dont il était question ci-dessus.
Sur la première ligne, vous pouvez voir les sinusoïdes de période 3 (et les zéros qui les annulent), sur la deuxième ligne, celles de période 5, sur la troisième ligne, celles de période 7, etc.
Le pire des cas, c'est 32, une puissance de 2, parce qu'on a effectivement 2 sinusoïdes par ligne. Pour les autres nombres, on a une sinusoïde sur les lignes des diviseurs et deux sinusoïdes sur les lignes des non-diviseurs.
résultats scannés (première page)

résultats scannés (deuxième page)

résultats scannés (troisième page)

résultats scannés (quatrième page)

En fait, la propriété que l'on a explicitée, si elle était déjà démontrée, permettrait de démontrer facilement la conjecture de Goldbach.

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