Au tout début de ces recherches, j'ai été confrontée à ce que l'on pourrait appeler un cas de "non-commutativité" en mathématiques (on trouvera tout cela dans la note "octobre 2005" sous l'onglet "des notes et puis un jour l'harmonie").

Je cherchais à travailler "à l'aveugle". Pour ça, j'avais calculé par programme les nombres premiers et les "sauts" entre deux nombres premiers successifs.

Je cherchais la décomposition Goldbach d'un nombre pair pris au hasard entre P_i et P_i+1, deux nombres premiers consécutifs, ce nombre étant à distance Delta_gauche de P_i et à distance Delta_droite de P_i+1.

Je définissais une suite de la façon suivante :
S_0 = Delta_droite - Delta_gauche
et
S_i+1 = S_i-Delta_i-1 si S_i > 0
ou bien
S_i+1 = S_i+Delta_i+1 si S_i < 0.

Cette suite était telle que l'un des S_i s'annulait à un moment donné, justement au moment où l'on avait trouvé une décomposition Goldbach du nombre pair considéré.

Exemple :
Considérons les nombres premiers suivants 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259 et les sauts qui les séparent 6, 6, 2, 6, 12, 10. On cherche une décomposition du nombre pair 1238. Il est à distance 1 de 1237 et à distance 11 de 1249.

Calculons les termes de la suite :
S_0 = 11-1 = 10
S_1 = 10-6 = 4
S_2 = 4-2 = 2
S_3 = 2-6 = -4
S_4 = 4+10 = 6
S_5 = 6-6 = 0
Donc 2 x 1238 = 1217+1259 que l'on vérifie aisément.

Si l'on fait les choses dans l'autre sens, c'est à dire si l'on part à gauche quand il faudrait partir à droite et le contraire, on peut ne jamais trouver de décomposition Goldbach pour le nombre pair considéré en partant à l'infini et en ratant tout sur son passage. Voilà ce que j'entends ici par non-commutativité : si l'on ne fait pas les opérations d'aller du côté gauche ou du côté droit du nombre pair considéré dans le bon ordre, on peut ne pas atteindre un objectif que l'on atteindrait si on fait ces deux opérations dans l'ordre inverse.

Alain Connes est le fondateur de la "géométrie non commutative". On peut trouver 4 conférences très intéressantes à l'adresse : http://www.dma.ens.fr/culturemath/actu/livres.htm

Je trouve seulement qu'un clavier de piano est symétrique par rapport soit à une touche "ré" soit à une touche "sol #"...